1．はじめに

今回は水理学で登場する『限界水深』について紹介します． フォロワーさんからリクエストを頂いたテーマとしてはこれが初になります！めでたい！

できるだけ正確な説明に努めますが，水理学についてはそこまで詳しくないので間違い等に気づいた方がいましたら，記事の最後に書いてある連絡先までご連絡頂けますと幸いです．

2．比エネルギー，限界水深，フルード数

比エネルギー\(E\)は「水路床からエネルギー線までの高さ」と定義されます．開水路の流れを考える上で非常に重要な概念です．

\[ \begin{align} E&=\dfrac{v ^{2}}{2g}+H &=\dfrac{Q ^{2}}{2gA ^{2}}+H \end{align} \]

\(Q\)は開水路流量，\(A\)は流積です． 水面幅\(B\)，水深\(H\)の長方形断面水路について考えると，比エネルギーの定義より

\[ \begin{align} E&=\dfrac{Q ^{2}}{2gA ^{2}}+H\\ &=\dfrac{Q ^{2}}{2gB ^{2} H ^{2}}+H\\ \end{align} \]

この式をグラフにしたものが\(E-H\)曲線(\(Q\)が一定のときの比エネルギー\(E\)と水深\(H\)の関係)と\(Q-H\)曲線(\(E\)が一定のときの流量\(Q\)と水深\(H\)の関係)と呼ばれるグラフです．

各曲線について重要な事柄をここにまとめておきます． \(E-H\)曲線について ・ある比エネルギー\(E\)に対して2つの水深が存在する． ・比エネルギー\(E\)が最小となるときの水深を限界水深\(Hc\)と呼ぶ． ・限界水深\(Hc\)より水深が大きいときは常流，小さいときは射流となる．

\(Q-H\)曲線について ・ある流量\(Q\)に対して2つの水深が存在する． ・流量\(Q\)が最大となるときの水深を限界水深\(Hc\)と呼ぶ． ・限界水\(Hc\)より水深が大きいときは常流，小さいときは射流となる．

これらをまとめると、 ・ある流量\(Q\)のもとで比エネルギー\(E\)が最小となるときの水深は限界水深\(Hc\)と呼ばれます． ・ある比エネルギー\(E\)のもとで流量\(Q\)が最大となるときの水深は限界水深\(Hc\)と呼ばれます．

最小比エネルギー\(Emin\)は\(E-H\)曲線の極値です(導関数\( \tfrac{dE}{dH} \)が0になる)．当然このときの水深は限界水深\(Hc\)になります． つまり，比エネルギーの定義式を水深\(H\)で微分すると，次式からある流量\(Q\)に対する限界水深\(Hc\)が求められます．

\[ \begin{align} E&=\dfrac{Q ^{2}}{2gB ^{2} H ^{2}}+H\\ \dfrac{dE _{min}}{dH}&=\dfrac{Q ^{2}}{2gB ^{2} } \cdot \left( - \dfrac{2H _{c}}{H _{c} ^{4}}\right) +1=0\\ \dfrac{Q ^{2}}{gB ^{2} H _{c} ^{3}} &=1\\ H _{c}&=\sqrt[3] {\dfrac{Q ^{2}}{gB ^{2}}} \end{align} \]

ちなみに限界水深\(Hc\)のときの流速を限界流速\(vc\)と呼びます．また，このときの流れを限界流と呼びます．

\[ \begin{align} \dfrac{Q ^{2}}{gB ^{2} H _{c} ^{3}} &=1\\ \dfrac{ v _{c} ^{2}}{g H _{c}} &=1\\ v _{c} &= \sqrt{g H _{c}} &=\sqrt[3] {\dfrac{g Q }{B}} \end{align} \]

同様に\(Q-H\)曲線について，ある比エネルギー\(E\)に対する最大流量\(Qmax\)は\(Q-H\)曲線の極値になる(導関数\(\tfrac{dQ}{dH}\)が0になる)ので，次式からある比エネルギー\(E\)に対する限界水深\(Hc\)が求められます．

\[ \begin{align} E&=\dfrac{Q ^{2}}{2gB ^{2} H ^{2}}+H\\ Q&=BH \sqrt{2g ( E-H )}\\ \dfrac{dQ _{max}}{dH}&=B\sqrt{2g ( E-H_{c} )}-\sqrt{2g}BH_{c} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{E-H _{c}}}=0\\ B\sqrt{2g ( E-H_{c} )}&=\sqrt{2g}BH_{c} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{E-H _{c}}}\\ H _{c}&=\dfrac{2}{3}E \end{align} \]

フルード数\(Fr\)

フルード数\(Fr\)は次式で定義されます．

\[ Fr=\dfrac{v}{\sqrt{gD}}=\dfrac{v}{\sqrt{g\dfrac{A}{B}}}\\ \]

ここで，\(v\)は平均流速，\(D\)は水理水深，\(A\)は流積，\(B\)は水面幅です． なお，長方形断面水路の場合は，

\[ Fr=\dfrac{v}{\sqrt{gH}}\\ \]

ここで，\(\sqrt {gD}\)は水面の攪乱波の伝搬速度です． つまり，分母より分子が大きい場合(波の伝搬速度<平均流速)なら，水面に発生した波は上流に伝わりません(射流)． 逆に，分母より分子が小さい場合(波の伝搬速度>平均流速)なら，水面に発生した波は上流に伝わります(上流)．

水深がそこそこ深くて流れの緩やかな用水路とかに石を投げ入れてみてください． 常流になっていれば，石を投げ入れたことで発生した波が上流に伝わっていくのを観察できるはずです．

逆に白波が立っているような流れの速い河川などにも石を投げ入れてみてください 射流になっていれば，石を投げ入れたことで発生した波はすぐに川の流れにかき消されて，上流に伝わっていく様子は見られないはずです．

ちなみに限界流が発生しているときはフルード数は1になります． 例えば、長方形断面水路の場合は次式の通りです．

\[ \begin{align} Fr&=\dfrac{v _{c}}{\sqrt{gH _{c}}}\\ &=\dfrac{\sqrt{gH _{c}}}{\sqrt{gH _{c}}}\\ &=1\\ \end{align} \]

3．限界水深の用途

限界水深がどういったものかは概ね理解できたと思いますが，何に使うかはよくわからないままだと思います． そこで広頂堰とパーシャルフリュームについて紹介します． どちらも限界水深を利用して流量を求める構造物です．

3.1．広頂堰

引用文献(1)によれば，下図に示すように堰頂の幅が越流水深よりも大きく，形が台形状の堰を広頂堰と呼びます． 堰の天端で限界流が生じることを利用して，堰の上流側の水深から流量を求めることができます． つまり，広頂堰の流量を求めるために限界水深が使われます． 堰における流量はベルヌーイの定理によって理論的に求められます． ベルヌーイの定理より

\[ H _{1}=H _{0} + \dfrac{v _{0} ^{2}}{2g}=H _{c} + \dfrac{v ^{2}}{2g}\\ v=\sqrt{2g(H _{1}-H_{c})}\\ \]

水面幅を\(B\)，流量係数を\(C\)とすると，流量\(Q\)は

\[ Q=CBH_{c}\sqrt{2g(H _{1}-H_{c})}\\ \]

限界流が生じる横断面(支配断面)では，流れが平行流となるため静水圧分布するため，

\[ H _{c}=\dfrac{2}{3}H _{1} \]

よって

\[ \begin{align} Q&=CBH_{c}\sqrt{2g(H _{1}-H_{c})}\\ &=CBH_{c}\sqrt{2g(H _{1}-\dfrac{2}{3}H _{1})}\\ &=\dfrac{2}{3}CBH _{1}\sqrt{\dfrac{2}{3}gH _{1}}\\ &\fallingdotseq 1.70CB H_{1} ^{1.5}\\ \end{align} \]

実際には，接近流速\(v0\)を無視して\(H1=H0\)とする場合もあります． なお，流量係数\(C\)は堰の形状によって異なるため実験により求めます．

ここで，重要なことは限界水深が流量を求めるために使われていることです．

3.2．パーシャルフリューム

(有限会社　工業技術社：２開水路形流量計より)

パーシャルフリュームも広頂堰と同様に限界流を生じさせ流量を測定する構造物です．

4．おわりに

最後までお付き合い頂き，ありがとうございました． 限界水深とその用途について理解できましたか？

今回の記事のまとめ ・限界水深はある流量に対して比エネルギーが最小となる水深あるいはある比エネルギーに対して流量が最大となる水深． ・限界水深は常流/射流の判定や流量観測に使われる．

記事を書くにあたり久しぶりに堰などについて勉強し直したのですが，なぜ広頂堰の流量観測の時，堰の天端上ではなく上流側で水深を測定するか疑問に思いました． 支配断面の生じる位置を特定できないとか，支配断面の位置が変化しうるとか，水位計の設置や維持管理の困難さとかが理由なんですかね？ もし詳しい方がいましたら教えてください．

今回の記事の内容はいかがでしたか？ 水理学は僕の専門の一つですが，そこまで詳しいわけでもないので間違い等に気づいた方がいましたら，下記連絡先までご連絡頂けますと幸いです．

それでは，また次回の記事でお会いしましょう．

今後も農業農村工学(水文学，かんがい排水，土壌物理，水理学)を中心に記事を執筆していきたいと思います． リクエスト等も受け付けておりますので，ご遠慮なく連絡ください． Twitterアカウント：エビぐんかん@6LxAi9GCOmRigUI メール：nnCreatorCircle@gmail.com

引用・参考文献

(1)　近畿高校土木会：解いてわかる！水理，オーム社，2012，pp.122-127，144-149． (2)　大津岩夫，安田陽一，高橋正行，高橋迪迪夫，長林久夫，藤田豊：水理学，理工図書，2007，pp.126-129． (3)　石野捷治，1974．農業土木技術者のための流量の測定と解析 (その2)　基礎知識I・開水路において流量を直接測定する方法．農土誌．42-11，755-761． (4)　国立研究開発法人　土木研究所　水工研究グループ　水文チーム：平成14年度版水文観測，pp.158-168 (https://www.pwri.go.jp/team/hydro_eng/suimon_kansoku.htm ，最終アクセス日：2021/3/7) (5)　極東建設株式会社：土木用語集　限界水深 (https://www.kyokuto-k.co.jp/glossary/09ke/045.html ，最終アクセス日：2021/3/7) (6)　有限会社　工業技術社：２開水路形流量計 (https://keiso-cube.com/proguide/proguide_mizu04.php ，最終アクセス日：2021/3/7)